世界で一番面白い物語を作って読みたい

タイトルには大いなりすぎる野望を書いてみました。20代エンジニアです。

玄関のツーロックは、両方かけるのと片方だけかけるのとどちらが安全か?

こんばんは、ミズノです。

ãçé¢ äºã¤ éµãã®ç»åæ¤ç´¢çµæ

唐突ですが私の家はツーロックです。出先から家に帰り、おもむろに私はポケットから鍵を取り出します。そして、上側の鍵を回し、次に下側の鍵を回します。そしてドアノブを回すと、

 

がちゃん。

 

開きません。どうやら、私は両方の鍵を閉めずに、片方だけをロックして片方だけ外していったようです。

今度は片方だけの鍵を回してみます。開かない。どうやらもう一つのほうに鍵がかかっていたらしい――が、愚かな私は上下どちらを開錠したのか忘れてしまい、そしてそれを何度も繰り返し、開錠に数分かけてしまったことがあります。そこで私はふと思いました。

――もしかして、上下両方かけるより、片方だけのほうが安全なんじゃないか?

 

本記事はその検証結果を報告するものです。

 

 

①考え方

ここで「期待値」の考え方を取り入れるのは不自然ではないでしょう。鍵を回した回数をnとして、

 

鍵を回す回数の期待値 = Σ(鍵を回した回数n) / (n回で鍵を開錠できる確率)

 

「片方だけ鍵をかけなかった場合」と「両方鍵をかけた場合」の2通り算出して大小を比べます。

 

 

②片方しか鍵をかけなかった場合

1回で開錠できる確率・・・1/2

2回で開錠できる確率・・・0

3回で開錠できる確率・・・1/8

4回で開錠できる確率・・・0

5回で開錠できる確率・・・1/32

規則性が見えてきました。おそらくこうです。

n回で開錠できる確率・・・1/2^(2n-1)

つまり

 

鍵を回す回数の期待値=Σ(2n-1)/(2^(2n-1))

 

 

③両方に鍵をかけた場合

上と同様の考え方で、

 

鍵を回す回数の期待値=Σ2n/(2^(2n))

 

 

我々の解くべき式が明らかになりました!

f:id:youmizuno:20180925191210p:plain

味のある字ですみません!

 

④結論

解析解も頑張れば求められそうに見えますが……しかし我々が求めるのは厳密な値ではありません。「片方だけかける期待値」と「両方かける期待値」のどちらが大きいかわかればいいのです。なので、こうしましょう。

 

「片方だけかける期待値」から「両方かける期待値を引き算しましょう!

 

途中計算は省きますが、こうなります。

「片方」ー「両方」=Σ2(n-1)/2^n ・・・(*)

 

(*)を見てください。n-1の項は常に0より大きいです。つまり、

「片方」ー「両方」> 0

 

「片方」のほうが、鍵を回す回数が多いことがわかります!

 

結論が出ました。私の計算が間違っていなければ、ツーロックは、片方だけかけたほうが、期待値的には安全です!

 

 

⑤何回まわせば開く?

解析解の求め方を調べるのが骨だったので、数値解をこのサイトで計算しました。

ja.numberempire.com

 

 

両方の鍵を掛けたとき、鍵を回す回数

約0.9回

f:id:youmizuno:20180925192550p:plain

1回よりも少ないというのをどう解釈すればいいのか迷いますが、ひとまずこの値になります。

 

片方だけ鍵をかけたとき、鍵を回す回数

約1.1回

f:id:youmizuno:20180925192754p:plain

1.1回鍵を回すってどういうこと?と、感覚的にはちょっと外れますが、確かに片方だけ鍵を掛けたほうが、開錠する手間はちょっとだけ増えるようです。

 

⑥まとめ

感覚的には捉えにくい結果になりましたが、ツーロックの場合、

片方だけに鍵をかけると、開錠まで平均で1.1回鍵を回す必要があるのに対し

両方かけた場合では0.9回で開錠できてしまう結果になりました。

 

つまるところ、ツーロックは2つあるから安全、というより、鍵穴を一個増やしたことによって、指数関数的に開錠に至るパターンを増やすことで安全を担保しているのですね。

 

なかなか楽しい確率の問題でした。が、自分で言うのもあれですが、確率計算や仮定には、結構なツッコミどころもある気がします、が(再びの逆説)、一種の問題提起ということで、数学に詳しい頭のいい人が、戯れに考えてくださることを私は期待してします。

 

意義異論歓迎です。興味がある方はぜひトライをどうぞ!

 

こんな本を書店で見ててふっと思いついた記事です。

数学難問BEST100

数学難問BEST100